1. 同一批误差，两种汇总#

1
w（共享参数）→ 预测 → residual → 每样本平方误差 (N,1)
2
                                  ├─ sum  → 总 loss   ()
3
                                  └─ mean → 平均 loss ()

参数 w 与预测没有因归约而改变；改变的是 loss 及它对 w 的变化率。

2. 固定 N 的比例#

前提：同一批样本，N 不依赖 w；差商使用相同基准 w、相同非零 h。 不是“平均参数”；也不是“导数变化量”。差商是 loss 的区间平均变化率。

3. 整批重复一次#

理由：总贡献翻倍，样本数也翻倍。mean 的分子、分母抵消；sum 没有除以样本数。 这只针对整批等比例重复，不意味着任意增加新样本后 mean 都不变。

4. 检查清单#

• w=1 时 residual 恰好为 x-y，但通用计算必须保留 w*x-y；用非 1 的参数检查特例掩盖的错误。
• 求导链的 dp/dw=x，不再额外乘 w；w 出现在 residual 内部。
• 同一基准、同一归约下比较解析导数与差商，不能跨 mean / sum 混比。
• loss、变化量、差商、点导数是不同的量，即使某次数值恰好相同。
• 数值核对要同时变化参数值和样本数；输出标清 N 与归约方式。

来源：NumPy beginners 的 sum / mean 为本课宣布的主来源，本课未重新抓取；链式法则沿用前课已核对的 OpenStax §3.6。缩放与重复样本的推理为教师课堂补讲及学生练习。

上一课：06 batch MSE。

本文于2026-10-30整理公开，日期为导入日期。